Таганай виден из Челябинска

Артём Комельков, турист и программист, пишет, что видит Круглицу из своего челябинского окна:

Вчера была ясная погода, опять видно Таганай из окна. Хорошо там счас )

Таганай

Народ заинтересовался, как такое возможно, ведь расстояние достаточно велико — 93 километра.

Пришлось провести небольшой расчёт. Оказалось — ничего сложного.

Итак, у нас есть:

  • планета радиуса r, являющаяся, для простоты расчёта, шаром;
  • наблюдатель ростом h_1 (вернее, h_1 — это расстояние от земли до глаз наблюдателя);
  • объект высотой h_2.

Мы хотим узнать, на каком расстоянии наблюдатель сможет видеть объект высотой h_2, не упираясь взгядом в горизонт.

Схема

Для наблюдателя, чей глаз находится в точке A, линия горизонта будет проходить через точку C. Отрезок AC, имеющий длину l_1, является катетом прямоугольного треугольника, длина второго катета которого равна радиусу планеты, а длина гипотенузы — сумме радиуса r и высоты h_1. При большой разнице в размерах планеты и наблюдателя можно расстояния от глаз и ног наблюдателя до горизонта считать одинаковыми. Здесь, как и в военных расчётах, синусы с косинусами не нужны — достаточно вспомнить теорему Пифагора.

(r+h_1)^2 = r^2 + l_1^2

l_1 = h_1 + \sqrt{2rh_1}

Расстояние l_2 вычисляется аналогично. Максимально возможное расстояние l равно сумме расстояний l_1+l_2.

Если загнать наблюдателя на высоту 25 метров (девятый этаж), то вершину горы высотой 900 метров относительно земли под наблюдателем можно будет увидеть на расстоянии до 126 километров.

P. S. Вспомнил, как снимал Эльбрус издалека, нашёл на глобусе место съёмки, измерил расстояние — вышло 83 километра.
Эльбрус